37) Устойчивость линейных непрерывных систем

 

Устойчивость линейных САУ. Если какое-либо решение линей­ного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво любое его решение. Поэтому в случае непрерывных линейных стацио­нарных систем, т. е. систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, можно рассматривать их устойчивость, не указывая конкретного движения.

Непрерывная линейная стационарная САУ называется устой­чивой, если асимптотически устойчиво какое-либо ее невозмущенное (заданное) движение.

Если заданы внешние воздействия, то уравнение линейных стационарных САУ можно представить в виде

 

                                                   (5.6)

 

В уравнении (5.6) a_i, i=0, 1, ..., п — заданные постоянные коэффициенты,  — заданная функция времени.

Общее решение уравнения (5.6), как известно, имеет вид

 

                                                                             (5.7)

 

где  — частное решение неоднородного уравнения (5.6),  — общее решение однородного уравнения

 

                                                        (5.8)

 

Частное решение х_в(t) определяет вынужденное движение, реше­ние  — свободное движение, т. е. движение, которое не зависит от внешних воздействий и определяется только начальными усло­виями.

Невозмущенное движение задается внешним задающим воздействием и при отсутствии внешних возмущаю­щих воздействий совпадает с вынуж­денным движением . Поэтому линейная система устойчива, когда

                                                              (5.9)

 

Это соотношение можно принять за определение устойчивости линейных непрерывных систем.