25) Алгебраические и частотные критерии устойчивости

 

Алгебраическими критериями называются критерии, которые основаны на проверке определенных соотношений, составленных из коэффициентов характеристического уравнения. Поэтому при использовании алгебраических критериев нужно иметь только характеристическое уравнение. Если исследование устой­чивости проводится с помощью алгебраических критериев, нужно прежде всего проверить выполнение необходимого условия устой­чивости, так как его проверка не требует никаких вычислений и при невыполнении этого условия дальнейших исследований проводить не нужно.

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы коэффициенты ее характери­стического уравнения были одного знака:

 

          , , …,  или , , …,     (5.12)

 

Если необходимое условие не выполняется, то система неустой­чива. Если же необходимое условие выполняется, то система при п3 (п — порядок системы) может быть устойчивой и неустой­чивой и для установления устойчивости нужно воспользоваться каким-либо критерием устойчивости. Как уже установлено, в слу­чае систем первого и второго порядков необходимое условие (5.12) является и достаточным.

Перейдем к формулировке критерия Гурвица. Составим из коэф­фициентов характеристического уравнения определитель п-гo по­рядка

 

на главной диагонали которого располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с а₁ и кончая а_n. В каж­дом столбце при движении от элемента, находящегося на глав­ной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз — убывают. При этом на место элементов с индексами, превышаю­щими га (при движении вверх), и отрицательными индексами (при движении вниз) проставляются нули.

Приведем главные миноры определителя :

 

 

Назовем эти миноры, включая определитель , определителями Гурвица. Примем для определенности а₀ > 0. Это допущение не нарушает общности, так как если а₀ < 0, то обе части харак­теристического уравнения можно умножить на —1.

Критерий Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы, все определители Гурвица, со­ставленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, были больше нуля (при а₀ > 0):

 

, .

 

Из этого критерия следует,  что при n = 3 необходимое и до­статочное условие устойчивости имеет вид

 

, , , .

 

Следовательно, уже при п = 3 необходимое условие устой­чивости (5.12) не является и достаточным. Для устойчивости си­стем третьего порядка кроме необходимого условия должно выполняться неравенство  (т.е. разность между произведением средних коэффициентов и произведением крайних коэффициентов должна быть положительной).

Критерий Льенара — Шипара. При выполненнии необходимого условия для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны или все определители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица с нечетными индексами.

Следовательно, для того чтобы система была устойчива, необ­ходимо и достаточно, чтобы

 

, , …, ; , , , …

или

 , , …, ; , , , …

Таким образом, для исследования устойчивости нет необходи­мости вычислять все определители Гурвица.

 

Частотные критерии устойчивости

 

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на построении частотных характеристик и так назы­ваемой кривой Михайлова. Ниже рассмотрены следующие частот­ные критерии:  критерий Михайлова,   Найквиста и  логарифмический  частотный   крите­рий.

Пусть характеристический полином

 

.

 

Подставим в него

.

Кривую, которую описывает конец вектора  на комплексной плоскости при из­менении  от 0 до , называют кривой Ми­хайлова.

Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устой­чива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начи­наясь при  > 0 с действительной положительной полуоси, при возрастании  от 0 до  последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис. 5.3).

Если непрерывная система имеет конечный граничный коэффи­циент, то включение импульсного звена уменьшает его. Но это справедливо, если амплитудно-фазовая характеристика  разомкнутой системы при высоких частотах не имеет существенной части в правой полуплоскости, т. е. характеристика  при высоких частотах не проходит в первом и четвертом квадрантах или в этих квадрантах модуль |  | пренебрежимо мал.

Если характеристика  при высоких частотах имеет суще­ственную часть в правой полуплоскости, что возможно при нали­чии в системе элемента чистого запаздывания, включение импульс­ного элемента с надлежащим периодом Т_и повышает запас устой­чивости и соответственно увеличивает граничный передаточный коэффициент. Иначе: непрерывные системы со значительным за­паздыванием можно стабилизировать путем введения импульсного элемента.