20) Уравнения и передаточные функции непрерывных систем

 

Математическая модель любой части САУ называется звеном. В частности, звеном может быть математическая модель всей си­стемы или любого ее элемента. Любое стационарное линейное не­прерывное звено с двумя входами описывается уравнением вида

 

     ,      (4.1)

 

где , ,  i-е производные по времени.

Для линейных систем (звеньев) справедлив принцип суперпо­зиции: реакция системы на несколько одновременно приложенных воздействий равна сумме реакций системы на каждое воздействие в отдельности. Этот принцип следует из свойства решений линей­ных дифференциальных уравнений. В частности, для системы (4.1) принцип суперпозиции означает следующее Если  реакция системы (изменение выходной величины) при  и , реакция системы при  и , то при  и  (при одних и тех же начальных условиях) ее реакция .

Благодаря принципу суперпозиции исследование систем с не­сколькими входами всегда можно свести к исследованию систем с одним входом. Система (звено) с одним входом описывается урав­нением вида

 

                 (4.2)

 

Символическая форма записи. Для операции дифференцирова­ния введем обозначение р (его называют оператором дифференци­рования). По определению,

, .

 

Используя р, уравнение (4.2) можно представить в виде

 

 

При  записи   и  преобразовании  дифференциальных  уравнений оператор р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение ру — как  произведение, не обладающее свойством коммутативности: нель­зя вместо ру писать yр .   Учитывая это,   преобразуем  последнее  уравнение,   вынеся у и и за скобки:

 

         (4.3)

 

Введем обозначения ,  и представим уравнение (4.3) в более компактной форме:

 

.

 

Дифференциальный оператор Q (р) при выходной величине называют собственным оператором, а дифференциальный опера­тор R (р) при входной величине — оператором воздействия. Все уравнения, записанные с использованием оператора р, являются символической формой записи уравнения (4.2). Такая запись удобна при определении передаточных функций.

Передаточные функции. Для описания САУ используются две различные передаточные функции — в операторной форме и в изоб­ражениях Лапласа. Передаточной функцией в операторной форме W (р) называется отношение оператора воздействия к собственному оператору Передаточной функцией в изображениях Лапласа W (s) называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях. Здесь s — перемен­ная преобразования Лапласа.

Согласно определению,  передаточная функция  в операторней форме звена (4.2) или (4.3)

 

.

 

Используя W (р), получим уравнение

 

,

 

которое является одной из разновидностей символической формы записи уравнения (4.2).

Чтобы определить передаточную функцию в изображениях Лапласа звена (4.2), произведем преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:

 

.

Здесь L — символ преобразования (оператор) Лапласа. При нулевых начальных условиях

 

где .

Используй это свойство и свойство линейности преобразования Лапласа , получаем

 

                    (4.4)

 

Очевидно, чтобы перейти от (4.2) к (4.4), нужно представить (4.2) в символической форме (4.3) и подставить в (4.3) вместо р перемен­ную s, а вместо у (t) и и (t) — их изображения.

По определению, из (4.4) для передаточной функции в изобра­жениях Лапласа звена (4.2) получаем

 

                                    .                     (4.5)

 

Поэтому уравнение в изображениях Лапласа (при нулевых на­чальных условиях) звена (4.2) приобретает вид

 

X(s) = W(s)U(s).

 

Очевидно, передаточная функция W(s) получается из W (р) формальной подстановкой р = s: W (s) = W (р)/_p-s. Такая связь между двумя формами передаточных функций справедлива только для стационарных систем.

Если система (звено) имеет q входов и r выходов, то для ее опи­сания требуется qr передаточных функций. В частности, звено (4.1) с двумя входами и одним выходом описывается двумя передаточ­ными функциями:

 

,

 

Используя эти передаточные функции, уравнение (4.1) в симво­лической форме получает вид

 

.

 

Нетрудно также составить для этого звена передаточные функ­ции и уравнения в изображениях Лапласа. Передаточная функция системы наряду с дифференциальными уравнениями широко исполь­зуется для описания САУ. Но при ненулевых начальных условиях она не всегда является ее исчерпывающей характеристикой. Если собственный оператор и оператор воздействия системы имеют об­щие множители (нули), то при вычислении передаточной функции они сокращаются. И в этом случае по передаточной функции САУ нельзя восстановить ее дифференциальное уравнение и получить описание процессов в ней при произвольных начальных условиях.