10) Частотные характеристики непрерывных систем. Физический смысл частотных характеристик

 

Рассмотрим звено с передаточной функцией. Функция , которая получается из переда­точной функции при подстановке в нее :

 

,

 

называется частотной передаточной функцией. Ее можно предста­вить в виде

,

где  , .

 

На комплексной плоскости (рис. 4.2) частотная передаточная функция  определяет вектор ОС, длина (модуль) которого равна А (), а угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью, равен . Кривая, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от нуля до бесконеч­ности (годограф вектора ), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Иногда рассматривают АФЧХ при изменении  от  до . Если W (s) является дробно-рациональной функцией (отношением полиномов), то, как нетрудно показать, U () является четной, а V () — нечетной функцией  .

Поэтому АФЧХ при отрицательных значениях  получается зеркальным отображением относительно действительной оси АФЧХ при положительных .

Действительную часть U () = Re  и мнимую часть  называют соответственно вещественной и мни­мой частотными функциями. График вещественной частотной функ­ции (кривая зависимости U = U () при изменении  от 0 до  называют вещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции — мнимой частотной характеристи­кой. Модуль А () = |W()| — амплитудная частотная функ­ция, а ее график — амплитудная частотная характеристика. Аргумент  arg  называют фазовой частотной функцией, а ее график — фазовой частотной характеристикой.

Когда | arg W () |, фазовая час­тотная функция  (рис. 4.2). В общем случае

 

,

 , , …,

где k определяется   из   каких-либо  дополнительных данных.

Установим, какой же физический смысл имеют частотные харак­теристики. Если на вход устойчивой линейной стационарной си­стемы подается гармонический сигнал , то на ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается гармони­ческий процесс с амплитудой b и фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на угол  (рис. 4.3). Амплитуда b и сдвиг фазы  зависят от частоты вход­ного сигнала и свойства системы. Кроме того, амплитуда b зависит еще от амплитуды входного сиг­нала. Но отношение  не зависит от амплитуды а. Оказывается, что  и , т. е. амплитудная частотная функ­ция равна отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а фа­зовая частотная функция — сдвигу фазы выходного сигнала.

Кроме перечисленных частотных характеристик используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) — логарифми­ческие амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и лога­рифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

ЛАЧХ — это график зависимости L () = 20 lg А () от ло­гарифма частоты lg . При построении ЛАЧХ по оси абсцисс от­кладывают частоту в логарифмическом масштабе (на отметке, соот­ветствующей значению lg , указывают значение ), а по оси ор­динат — L (). ЛФЧХ — это график зависимости фазовой частот­ной функции  от логарифма частоты lg . При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соот­ветствующей значению lg , указывают значение , по оси ординат откладывают  в градусах или радианах.

Единицей L () является децибел (дБ), а единицей логарифма частоты в ЛЧХ — декада (дек). Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в десять раз. Ось ординат при построе­нии ЛЧХ проводят через произвольную, удобную для рассматри­ваемой задачи точку, а не через точку  = 0, так как частоте  = 0 соответствует бесконечно удаленная точка:  при .